9° Ano - Trigonometria (exercícios)

Exercícios

9° Ano - Cartões

Atrasei, não nego, mas aqui (link) está o site com os moldes para vocês tentarem alguns cartões.

Na volta às aulas discutiremos dobre o processo criativo dos NOSSOS futuros cartões.

De qualquer forma, já vão pensando nos cartões que podemos criar. Muitas das criações virão a partir da sugestão de vocês.

Forte abraço e até segunda-feira.

8° Ano - Monômios e Polinômios #1 [Adição e Subtração]

Em sala combinamos que eu postaria aqui algumas explicações e exemplos adicionais do conteúdo que estamos vendo. Começaremos com Adição e Subtração, utilizando o texto abaixo (que publicado pelo site Brasil escola neste link):

O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir: 

Adição

Exemplo 1

Adicionar x² – 3x – 1 com –3x² + 8x – 6.

(x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.

+(–3x²) = –3x²
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6

x² – 3x – 1 –3x² + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.

x² – 3x² – 3x + 8x – 1 – 6

–2x² + 5x – 7

Portanto: (x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) = –2x² + 5x – 7


Exemplo 2

Adicionando 4x² – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:

(4x² – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

4x² – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.

4x² – 10x + 6x – 5 + 12

4x² – 4x + 7

Portanto: (4x² – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x² – 4x + 7

Subtração 

Exemplo 3

Subtraindo –3x² + 10x – 6 de 5x² – 9x – 8.

(5x² – 9x – 8) – (–3x² + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

– (–3x²) = +3x²
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6

5x² – 9x – 8 + 3x² –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.

5x² + 3x² – 9x –10x – 8 + 6

8x² – 19x – 2

Portanto: (5x² – 9x – 8) – (–3x² + 10x – 6) = 8x² – 19x – 2


Exemplo 4 
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:

(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.

2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.

2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5

0x³ – 6x² + x + 16

– 6x² + x + 16

Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16


Exemplo 5 
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:

a) A + B + C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45

A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45

b) A – B – C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15

A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Atividades

Khan Academy

Excelente novidade:

AGORA TEMOS O KHAN ACADEMY EM PORTUGUÊS!!!

Será bem mais fácil a realização dos exercícios.
Ainda nem todos os vídeos têm legenda, mas com o tempo terão. Até, por sinal, farei grande esforço para ajudar na criação de tais. Quem sabe até vocês podem ajudar.

Bom descanso e até semana que vem.

7° Ano - Números Inteiros [Khan Academy]

Exercícios extras para fixação:

• Colocar em ordem
• Oposto de um Número

Desafio:

• Problemas com números inteiros

Alunos novos, por favor me enviem seus e-mails para que eu possa cadastrá-los como meus alunos.

6° Ano - Tarefa de Simetria p/ 25/11/2013

Creio que a imagem abaixo lhes ajudará a compreender o conceito da tarefa:

Lembrando que cada desenho inicial deverá ter pelo menos uma casa, uma árvore e o Sol, como naqueles desenhos de pré escola.

A partir destes desenho, vocês criarão o reflexo (assim como bem demonstrado na imagem acima).

Caprichem, pois será nossa última atividade avaliativa.

Devaneios - II [Tragédia matemática]

  Caso ainda não tenhas lido o "Devaneios - I" talvez não seja fácil assimilar a beleza deste conto. Talvez mesmo depois de ler a postagem supracitada você não encontre tal beleza, porém sem dúvidas estará mais apto a compreender o que faz com que eu, Daniel, professor de matemática, encare este conto como uma bela "pérola lítero-matemática".

OBS.: Envolve muitos conceitos por vocês nem superficialmente vistos.

"Num certo livro de Matemática, um quociente apaixonou-se por uma incógnita.

Ele, o quociente, produto de notável família de importantíssimos polinômios.

Ela, uma simples incógnita, de mesquinha equação literal. Oh! Que tremenda desigualdade. Mas como todos sabem, o amor não tem limites e vai do mais infinito ao menos infinito.

Apaixonado, o quociente a olhou do vértice à base, sob todos os ângulos, agudos e obtusos. Era linda, uma figura ímpar e punha-se em evidência: olhar rombóide, boca trapezóide, seios esféricos num corpo cilíndrico de linhas senoidais.

- Quem és tu? Perguntou o quociente com olhar radical.

- Eu sou a raiz quadrada da soma do quadrado dos catetos, mas pode me chamar de Hipotenusa. Respondeu ela com expressão algébrica de quem ama.

Ele fez de sua vida uma paralela à dela, até que se encontraram no infinito. E se amaram ao quadrado da velocidade da luz, traçando ao sabor do momento e da paixão, retas e curvas nos jardins da quarta dimensão. Ele a amava e a recíproca era verdadeira. Se adoravam nas mesmas razões e proporções no intervalo aberto da vida.

Três quadrantes depois, resolveram se casar. Traçaram planos para o futuro e todos desejaram felicidade integral. Os padrinhos foram o vetor e a bissetriz.

Tudo estava nos eixos. O amor crescia em progressão geométrica. Quando ela estava em suas coordenadas positivas, tiveram um par: o menino, em honra ao padrinho, chamaram de Versor; a menina, uma linda Abscissa. Ela sofreu duas operações.

Eram felizes até que, um dia, tudo se tornou uma constante. Foi aí que surgiu um outro. Sim, um outro. O máximo divisor comum, um freqüentador de círculos viciosos. O mínimo que o máximo ofereceu foi uma grandeza absoluta.

Ela sentiu-se imprópria, mas amava o Máximo. Sabedor desta regra de três, o quociente chamou-a de fração ordinária. Sentiu-se um denominador comum, resolveu aplicar a solução trivial: um ponto de descontinuidade na vida deles.

Quando os dois amantes estavam em colóquio amoroso, ele em termos menores e ela de combinação linear, chegou o quociente e num giro determinante, disparou o seu 45.

Ela foi transformada numa simples dízima periódica e foi para o espaço imaginário e ele foi parar num intervalo fechado, onde a luz solar se via através de pequenas malhas quadráticas."

8° Ano - Análise Combinatória II

Como tarefa para segunda-feira vocês terão os exercícios da folha [T03] e os da matriz mais abaixo. São exercícios que remetem ao começo de nosso estudo de análise combinatória. Nada de questões de vestibulares.

PDF - Análise Combinatória [T03]

Notem que ainda não lhes entreguei a T02. Isto porque tal matriz é uma continuação de questões do vestibular, que faremos apenas mais tarde. Primeiro reforçaremos os conceitos envolvidos na análise combinatória.

Algo que os ajudará nos exercícios que estamos realizando, inclusive os do link acima, é a noção de Fatorial. Já vimos em sala, mas preparei uma matriz com explicação e exercícios (que também são tarefa).

PDF - Análise  Combinatória [Fatorial]

OBS. 1: NÃO É NECESSÁRIO IMPRIMIR QUALQUER UMA DESSAS MATRIZES. JÁ ESTÃO IMPRESSAS NO COLÉGIO.

OBS.2: AS TAREFAS DEVEM SER FEITAS NO CADERNO, INCLUINDO CONTAS.

Bons estudos.

Devaneios - I

  Decidi aproveitar esta época do ano para focar minha leitura em livros de romance matemático, como por exemplo O homem que calculava, de Malba Tahan. Ao pesquisar por sugestões de leitura, deparei-me com a escrita abaixo, que muito se assemelha à minha experiência universitária. Excelente leitura para os que não conseguem compreender de onde veio este ser que investe 5 aulas por semana procurando incutir ideias, conceitos e concepções matemáticas.

  "Muito tempo atrás, quando ainda era jovem e idealista, eu acreditava que a lua era de queijo e que existia como ser humano numa sociedade ideal e coerente. De todas as ciências, minha paixão era a matemática. No ano 1970 de nosso senhor, entrei como calouro no curso de Matemática Teórica e Aplicada, e durante quatro anos viajamos por mundos abstratos, maravilhosos e desconhecidos para a maior parte dos mortais.

  Estávamos no ápice do conhecimento. No último ano (quinto), adentraríamos as regiões limítrofes de pesquisa, onde muitos esqueletos apodrecem entre teoremas sem prova e caminhos que terminam em abismos do pensamento.

  Meus colegas do primeiro ano, na sua maior parte, tinham desertado das trincheiras para fazer cursos menos perigosos, como Engenharia, Advogacia e até Medicina, que estudam coisas concretas e seguras. Não que estes cursos sejam inferiores; é que eles não exigem tua sanidade mental.

  Existem muitos tipos de matemáticos: aqueles que irão lecionar, os que farão pesquisa para os governos (Criptografia, Previsões e até trajetórias no espaço), e no final da linha ficam os que foram pegos na armadilha da maldição do saber abstrato, aqueles que tentaram pular no desfiladeiro com a vã esperança de não morrer no final da queda.

No quinto ano, os sobreviventes (na media 3% da turma inicial) escolheriam as disciplinas que iriam definir seu futuro.

  Na mês de janeiro recebemos a lista de disciplinas “finais”, numa folha com três colunas: na primeira o nome do Tutor, na segunda o nome da matéria (Números Transinfinitos, Teoria de Grupos, Teoria de Anéis, Álgebras de Lie e Teoria de Representações, entre muitas quimeras prontas para te devorar), e, finalmente, na terceira, o número de vagas, que sempre era um máximo de duas.

  No primeiro domingo do mês de fevereiro, para nos lembrar que a partir daquele instante não teríamos mais vida pessoal, a “aula magna” foi, como sempre, proferida pelo Dr. Kustonov, russo refugiado que havia fugido do Stálin. A primeira frase era para nos desmontar, fazer com que os novos “gladiadores” pudessem ter uma última chance de desistir: “Senhores, absolutamente tudo o que aprenderam nestes quatro anos, o conhecimento matemático, alicerce de nossa cultura ocidental, está construído sobre fundações falsas, podres, que a qualquer momento podem desabar!” Logo a seguir, nas próximas quatro horas, fazia uma demostração atribuída a Kurt Gödel (que morreu de fome, por vontade pessoal), nos quadros que rodeavam a sala do auditório. De forma bem simplificada, o enunciado dizia que toda teoria matemática baseada em axiomas (por exemplo “a distância mais curta entre dois pontos é uma reta”) fatalmente obterá resultados, nunca demostrados pelos axiomas que sustentam a teoria. Toda teoria matemática é inconsistente!

  Lá pelas sete horas da noite, após a inoculação mortal da aula magna, restava uma única ação: voltar a pé e entrar no bar dos universitários, pedir uma bebida e refletir sobre nossos futuros, alguns sozinhos, outros com seus colegas. Tínhamos duas opções: a primeira era entrar no labirinto abstrato do mundo matemático sabendo que uma vez lá dentro nunca encontraríamos a saída; e a segunda era desistir de uma aventura enlouquecida e procurar praias mais sólidas e menos ariscadas. Menos de 1% dos meus colegas escolheram o caminho desconhecido; o resto, eu inclusive decidiu usar o conhecimento imperfeito (agora sabíamos) no que se denomina  “Matemática Aplicada” (Estatística, Informática ,essas coisas mais simples e corriqueiras).

  O leitor acredita que estou divagando ou brincando, quisera Deus. Vou lhes dar um exemplo. Muitos dos matemáticos que continuaram as pesquisas de Cantor sobre os números transinfinitos, inclusive ele, tiveram um desses finais: suicídio ou loucura! Até existe um documentário da BBC com o titulo de “Matemáticas Perigosas”.

  O romance matemático Tio Petros e a Conjectura de Goldbach trata desse dilema, tomando como linha-mestra a pesquisa infrutífera para provar a famosa conjectura, que na realidade foi inicialmente enunciada por Euler (morreu louco num sanatório). Parece simples de provar, e diz que: “Todo número par maior que dois (2) é igual à soma de dois número primos”.

  Se o leitor paciente, que chegou até este ponto, quiser testá-la, faça o seguinte: escolha um número par (20, por exemplo) e verá que é igual a (17 + 3), ambos números primos; este comportamento funciona sempre no teste empírico, porém ainda não foi “demostrado matematicamente”. Isto não significa que não tenha solução, esperança que em última instância se transforma numa armadilha."

  Fonte: http://www.kbrdigital.com.br/blog/romance-matematico-tio-petros-e-a-conjectura-de-goldbach/

6° Ano - Tarefa [correção e dica]

Como recebi algumas perguntas aqui pelo blog, decidi publicar o arquivo com a tarefa que que lhes entreguei. Neste arquivo, escrevi também a correção dos exercícios já feitos em sala, assim como uma dica para o 14 (que foi o único a mim requisitado por aqui).
Como a tarefa já foi passada ontem, e já deviam ter começado a fazer, não aceitarei novos pedidos com dicas e explicações destes mesmos exercícios, afinal: "tarefa passada no dia, tarefa feita no dia".

PDF

8° Ano - Análise Combinatória I

Preparei este material para auxiliá-los em seus estudos.

Não precisam imprimir, pois receberão uma cópia no início da próxima semana.

PDF

6° Ano - Tarefa

9° Ano - Tarefa

8° Ano - Prova sobre Probabilidades

Boa tarde 8° Ano,
Conforme havia combinado com vocês, estou publicando a prova que vocês realizaram nesta semana (atrasado, eu sei). Procure refazer a prova, mesmo que já a tenhamos refeito em sala, pois é uma forma de estudo e abrange praticamente tudo que vimos em sala, sendo assim também uma atividade de revisão.

Prova

7° Ano - Tarefa

Tarefa de 03/09 para 09/09 - 6º Ano, Divisão entre decimais [Khan]

Exercício 1 – Dividing decimals 1 (Dividindo Decimais 1)

Exercício 2 – Dividing decimals 2 (Dividindo Decimais 2)

Exercício 3 – Dividing decimals (Dividindo Decimais)

Vocabulário:

Desta vez não há vocabulário. E nem teria como, pois não há nada escrito, apenas as contas. Ah, há algo de diferente sim: no terceiro exercício as divisões estão com a chave, porém a forma como eles fazem a chave é diferente da nossa, eles dividem pra cima! Hã, como assim? Explicarei (ou expliquei, depende de quando você está lendo esta postagem) em sala para todos.

Bons estudos.

8º Ano - Tarefa de 31/08 para 04/09 - Probabilidade [Khan]

Auxílio para os estudos

Exercício 1 – Dependent Probability (Probabilidade dependente)

O nome pode não ser familiar, mas a ideia por detrás é. Já estudamos que quando desejo que duas coisas ocorram, para calcular sua probabilidade preciso multiplicar a probabilidade da primeira acontecer com a probabilidade da segunda.
Por exemplo: Qual a probabilidade de eu pegar dois 7 seguidos de um baralho comum, sem coringas, sem devolução?
  Um baralho comum tem 52 cartas -> n(S) = 52.
  Existem quatro 7 em um baralho -> n(E) = 4.
  A probabilidade então da minha primeira carta ser um 7 é de 4/52, simplificando: 1/13.
  Como não há devolução, sobraram 51 cartas no baralho -> n(S) = 51.
  Ainda temos três 7 no baralho -> n(E) = 3.
  Logo, a probabilidade d minha segunda carta ser outro 7 é de 3/51, simplificando: 1/17.
  A probabilidade dos dois eventos ocorrerem é (1/13)x(1/17) = (1/221).

Exercício 2 – Independent Probability (Probabilidade independente)

Como aparecerão situações-problema, aconselho o uso de um bom tradutor. Como reclamaram do google tradutor, fica como responsabilidade de vocês descobrir como melhor compreenderão.
Aceito sugestões nos comentários.

LEMBREM: resposta final precisará sempre estar simplificada.

9° Ano - Autoavaliação e exercícios no KA

Peço que todos alunos do 9° Ano que não me entregaram suas autoavaliações na quinta-feira, me entreguem pessoalmente na segunda, 02/09.

Além disso, para os que tiveram preguiça de ser correr atrás por si só e mostrar autonomia, vontade e comprometimento com sua aprendizagem, posto aqui alguns links de exercícios que BOA parte de vocês precisa treinar:

Trigonometria básica (0.5)
Trigonometria (1)
Trigonometria (2)

Extraindo raiz quadrada (1)
Extraindo raiz quadrada (2)

Frações - Adição (1)
Frações - Subtração (1)
Frações - Adição (2)
Frações - Subtração (2)
Frações - Adição e Subtração
Frações - Multiplicação
Frações - Divisão

Teorema de Pitágoras

Tarefa de 26/06 para 28/08 - 7º Ano, Média Aritmética, Moda e Mediana [Khan]

Vídeo para auxílio em português

Vídeo para auxílio em inglês

Exercício 1 – Mean median and mode (Mediana e Moda)

Exercício 2 – Average word problems (Problemas de nível médio)

No primeiro exercício, treinaremos os cálculos de Médias Aritméticas, Moda e Mediana. Já no segundo treinaremos também a interpretação de problemas.

Vocabulário de auxílio:

Arithmetic mean = média aritmética

Mode = moda

Median = mediana

What is the ... of the following numbers? = Qual é a ... dos seguintes números?

What was her average score on the tests? = Qual sua pontuação média nos testes?

Qualquer necessidade de ajuda extra: http://translate.google.com.br/
Ctrl + C e Ctrl + V. Já testei e a tradução é boa o suficiente para a compreensão dos enunciados.

Tarefa de 26/08 para 28/08 - 8º Ano, Probabilidade [Khan]

Vídeo para auxílio em português

Vídeo para auxílio em inglês

Exercício – Probability Space (Espaço de probabilidade)

Nesta série de exercícios, é perguntada a probabilidade de um evento ocorrer. Todos os eventos são relacionados à dados, porém as vezes aparecem dados de 4 lados (os triangulares).

Abaixo da pergunta, sempre aparece uma figura com o espaço amostral. Vocês podem usá-la como auxílio, até selecionando as casas se quiserem; porém não é obrigatório para a resposta final. Ah... a resposta final precisará sempre estar simplificada.

Vocabulário de auxílio:

Add = somar

Six-sided = de seis lados

Four-sized = de quatro lados

For a given roll = para uma jogada de dados

What is the probability that... = Qual a probabilidade de...

Less = menos

Less than = menos de

Or less = ou menos

Black die = Dado preto

White die = Dado branco

Even = par

Odd = ímpar

At least one = pelo menos um